O que é uma Integral?

Uma integral soma infinitos pedaços minúsculos para chegar a um total. Onde a derivada mede a taxa a cada instante, a integral recolhe essas taxas de volta num montante. No gráfico, ela é a área entre a curva e o eixo horizontal.

Velocidade vezes tempo dá distância, mas só se a velocidade nunca mudar. Quando ela muda, corte a viagem em fatias tão curtas que a velocidade mal se mexa dentro de cada uma, e some a pequena distância de cada fatia. Conforme as fatias encolhem rumo à largura zero, os totais se assentam num único número: a integral. O mesmo truque mede a área sob um gráfico, já que cada fatia é um retângulo fino, e a área de um retângulo é largura vezes altura. Com um ponto de início e um de fim, a forma escrita ∫f(x)dx vira um número exato, como a distância percorrida entre a hora um e a hora dois. Integrar uma taxa devolve o total e derivar um total devolve a taxa, então as duas operações se desfazem mutuamente — um resultado conhecido como teorema fundamental do cálculo.

Um medidor de luz. Seu consumo de energia pula o dia inteiro, mas o medidor nunca cobra pelo momento mais alto. Ele multiplica o consumo de cada momento por quanto tempo ele durou, soma todos os pedaços, e esse total é a sua conta.