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Was ist eine logarithmische Skala?

Markiert in einem echten Lehrbuchabsatz. Erklärt von Clicked.

Im Satz verwendet

Plotted on a log scale, the outbreak’s early weeks appear as a straight line rather than a flat one.

Der Leser markierte ein Wort in einem Lehrbuchabschnitt. Clicked hat das Konzept „log scale“ verständlich aufgeschlüsselt:

In drei Stufen erklärt

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Overview

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Eine logarithmische Skala ist eine Diagrammachse, auf der jeder Schritt multipliziert statt addiert. Eine gewöhnliche Achse steigt 100, 200, 300. Eine logarithmische steigt 10, 100, 1.000, meist mit dem Faktor zehn, und diese Marken liegen gleich weit auseinander. Es gibt sie für Daten, bei denen die kleinste und die größte Zahl völlig unterschiedliche Größenordnungen haben, weil ein gewöhnliches Diagramm alles Kleine gegen den Boden drückt.

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Detail

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Ein Unternehmen wächst in fünf Jahren von 40 auf 400.000 Nutzer. Zeichne das normal und die ersten drei Jahre liegen flach am Boden. Die Achse muss bis 400.000 reichen, also landen 40 und 400 fast aufeinander. Gib jedem Sprung um das Zehnfache dieselbe Höhe und alle fünf Jahre werden sichtbar, denn 40 bis 400 nimmt jetzt so viel Platz ein wie 40.000 bis 400.000. Warum nicht die echten Zahlen zeichnen? Weil die echten Zahlen verbergen, was man meistens wissen will, nämlich wie schnell sich die Zahl vervielfacht. Stetiges Vervielfachen zeichnet sich hier als gerade Linie, und die Steigung dieser Linie ist die Rate. Der Preis dafür ist, dass die Höhe nicht mehr auf einen Blick die Größe verrät, die Achse muss also gelesen werden. Erdbeben, Schall in Dezibel und der pH-Wert werden alle so gemessen.

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Analogy

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Kameraeinstellungen funktionieren genauso. Jede Blendenstufe lässt doppelt so viel Licht herein wie die vorige, also laufen die Werte 1, 2, 4, 8, 16. Fotografen nennen jede davon einen Schritt, obwohl sich die Lichtmenge immer weiter verdoppelt. Niemand sagt, ein Foto sei 4.096 Einheiten hell. Die nützliche Frage ist, wie viele Verdopplungen es von deinem Ausgangspunkt entfernt liegt.

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Gleiche Fakten, anderer Vibe — Slang-Modus 😎

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Overview

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Auf einer logarithmischen Skala heißt ein Schritt nach oben mal zehn, nicht plus zehn. So landen 1, 10, 100 und 1.000 gleich weit auseinander, was sich falsch anfühlt, bis zu dem Tag, an dem du es brauchst. Zeichne dieselben Zahlen normal und alles Kleine wird an die Grundlinie gepresst, wo es niemand sieht. Das Diagramm stellt sich nicht an, ihm ist schlicht der Platz ausgegangen. 😎

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Detail

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Deine TikTok-Follower gehen in vier Monaten von 40 auf 400 auf 4.000 auf 40.000. Zeichne das wie üblich und die Monate eins bis drei sehen aus, als hättest du gar nichts getan. Du hast nicht nichts getan. Das Diagramm lügt durch Weglassen. Die Achse muss bis 40.000 reichen, also wird alles Kleinere plattgedrückt. Auf einer logarithmischen Skala bekommt jeder Zehnersprung dieselbe Höhe, also erscheinen alle vier Monate als gleich große Stufe, was fair ist, weil jeder wirklich ein Zehnersprung war. Warum nicht die echten Zahlen nehmen? Weil sie begraben, was dich eigentlich interessiert, nämlich wie schnell es sich vervielfacht. Ein Haken: Eine Linie, die hier ruhig aussieht, kann trotzdem etwas sehr Schnelles beschreiben. Lärmpegel in Dezibel läuft ebenfalls so, genau wie jede Ansteckungskurve von vor ein paar Jahren. 😎

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Analogy

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Spiel-Level ziehen denselben Trick ab. Von Level 1 auf 2 dauert einen Nachmittag, von 40 auf 41 eine Woche, und trotzdem zeigt die Leiste beide als identische Schritte. Das ist Absicht, denn niemand will eine Leiste, in der die ersten dreißig Level einen Pixel breit sind und der Rest leer. Die Leiste misst den Fortschritt an jedem Anstieg der Schwierigkeit, nicht an den Stunden, die es gekostet hat, und das ist genau die Idee hinter einer logarithmischen Skala. 😎

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Formale Definition — Derselbe Begriff, wie er sonst erklärt wird

Eine logarithmische Skala stellt Werte durch ihren Logarithmus dar, sodass gleiche Abstände entlang der Achse gleichen Verhältnissen entsprechen und nicht gleichen Differenzen. Sie wird verwendet, wenn Daten mehrere Größenordnungen umfassen, und bildet exponentielle Zusammenhänge als Geraden ab, deren Steigung die Wachstumsrate ist, um den Preis, dass absolute Unterschiede am oberen Ende des Bereichs optisch gestaucht werden.

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